Wzory z Matematyki SAT — Kompletna Lista Formuł
Które formuły są podane na teście, których musisz się nauczyć, i jak często każda się pojawia — z przykładami zadań SAT.
Digital SAT dostarcza planszę 15 wzorów geometrycznych na początku każdej sekcji matematycznej — koła, trójkąty specjalne, objętości brył. Wszystko inne (algebra, funkcje kwadratowe, statystyka, wykładnicze, trygonometria) musisz umieć na pamięć. Ten przewodnik zestawia każdy wzór, który realnie pojawia się na teście, w kolejności od najczęstszego do rzadkiego, z uwagami z rzeczywistych sesji egzaminacyjnych.
Wzory podane na teście — plansza „Reference"
Dokładna lista wzorów, które College Board pokazuje w zakładce „Reference" w Bluebook. Nie musisz ich pamiętać, ale musisz umieć je stosować szybko — bo przełączanie się między zakładką a pytaniem kosztuje sekundy.
| Kategoria | Wzór | Kiedy używać |
|---|---|---|
| Koło — pole | A = πr² | Sektor koła, pole ograniczonego obszaru |
| Koło — obwód | C = 2πr | Długość łuku (część z 2πr) |
| Prostokąt — pole | A = lw | Zadania z wymiarów fizycznych |
| Trójkąt — pole | A = ½bh | Zadania z siatką współrzędnych |
| Pitagoras | c² = a² + b² | Trójkąt prostokątny, odległość |
| Trójkąt 45-45-90 | boki: s, s, s√2 | Przekątna kwadratu, izoceles prostokątny |
| Trójkąt 30-60-90 | boki: s, s√3, 2s | Trójkąt równoboczny podzielony na pół |
| Prostopadłościan | V = lwh | Objętość pudełka |
| Walec | V = πr²h | Puszki, kolumny, cylindry |
| Kula | V = (4/3)πr³ | Piłki, planety |
| Stożek | V = (1/3)πr²h | Rzadko, ale się zdarza |
| Ostrosłup | V = (1/3)lwh | Piramidy, ostrosłupy prostokątne |
| Suma kątów w trójkącie | 180° | Znajdowanie kąta w trójkącie |
| Suma kątów w kole | 360° | Sektory, kąty środkowe |
| Radiany w kole | 2π | Konwersja stopni ↔ radianów |
Wzory, które musisz zapamiętać
Cała reszta. SAT testuje te formuły w 38 z 44 pytań, więc opanowanie ich to warunek konieczny do wyniku 700+.
Funkcje liniowe (najbardziej testowane)
| Nazwa | Wzór |
|---|---|
| Nachylenie (slope) | m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) |
| Postać kierunkowa | y = mx + b |
| Postać punkt-nachylenie | y − y₁ = m(x − x₁) |
| Postać ogólna | Ax + By = C |
| Wzór na odległość | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
| Środek odcinka | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
| Proste równoległe | ten sam wsp. kierunkowy: m₁ = m₂ |
| Proste prostopadłe | m₁ · m₂ = −1 (odwr. ze zn. minus) |
Funkcje kwadratowe
| Nazwa | Wzór |
|---|---|
| Wzór kwadratowy | x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) |
| Delta (dyskryminant) | Δ = b² − 4ac |
| Postać kanoniczna | y = a(x − h)² + k, wierzchołek (h, k) |
| Oś symetrii paraboli | x = −b/(2a) |
| Suma pierwiastków (Vieta) | x₁ + x₂ = −b/a |
| Iloczyn pierwiastków | x₁ · x₂ = c/a |
| Różnica kwadratów | a² − b² = (a − b)(a + b) |
Potęgi i pierwiastki
| Reguła | Wzór |
|---|---|
| Iloczyn potęg | xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ |
| Iloraz potęg | xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ |
| Potęga potęgi | (xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ |
| Potęga ujemna | x⁻ᵃ = 1/xᵃ |
| Potęga zerowa | x⁰ = 1 (dla x ≠ 0) |
| Pierwiastek jako potęga | ⁿ√x = x^(1/n) |
Procenty i wzrost wykładniczy
| Nazwa | Wzór |
|---|---|
| Zmiana procentowa | ((nowe − stare)/stare) × 100% |
| Wzrost o p% | pomnóż przez (1 + p/100) |
| Spadek o p% | pomnóż przez (1 − p/100) |
| Wzrost wykładniczy | y = a(1 + r)ᵗ |
| Rozpad wykładniczy | y = a(1 − r)ᵗ |
| Okres półtrwania | y = a(1/2)^(t/h) |
Statystyka
| Miara | Wzór / definicja |
|---|---|
| Średnia arytmetyczna | suma wartości / liczba wartości |
| Mediana | środkowa wartość po posortowaniu |
| Dominanta | najczęściej występująca wartość |
| Rozstęp | max − min |
| Odchylenie standardowe | miara rozproszenia (SAT nie liczy, tylko porównuje) |
Trygonometria
| Nazwa | Wzór |
|---|---|
| SOH-CAH-TOA | sin=przec/przeciwp, cos=przyl/przeciwp, tan=przec/przyl |
| Tożsamość Pitagorasa | sin²θ + cos²θ = 1 |
| Kąty dopełniające | sin(θ) = cos(90° − θ) |
| Długość łuku (radiany) | s = r · θ |
| Pole sektora | A = (θ/360) · πr² (θ w stopniach) |
Ranking częstotliwości — na co postawić najpierw
Nie wszystkie wzory pojawiają się równie często. Ta tabela pokazuje przybliżoną liczbę pytań na test (na podstawie 15+ oficjalnych testów praktycznych College Board z lat 2023–2025).
| Wzór | Pytań na test | Priorytet nauki |
|---|---|---|
| Nachylenie prostej | 5–7 | Krytyczny |
| Zmiana procentowa | 3–5 | Krytyczny |
| Reguły potęg | 3–4 | Krytyczny |
| Systemy równań (podstawianie) | 3–4 | Krytyczny |
| Wzór kwadratowy + delta | 2–3 | Wysoki |
| Postać kanoniczna paraboli | 2–3 | Wysoki |
| Wzrost/rozpad wykładniczy | 2 | Wysoki |
| Średnia i mediana | 2 | Wysoki |
| Pitagoras / trójki (3-4-5 itd.) | 1–2 | Średni |
| SOH-CAH-TOA | 1–2 | Średni |
| Trójkąty specjalne (30-60-90) | 1 | Średni |
| Wzór na odległość | 0–1 | Niski |
| Środek odcinka | 0–1 | Niski |
Przykład — wzór na nachylenie w działaniu
Skoro nachylenie jest najczęstszym wzorem, warto zobaczyć jak wygląda typowe pytanie SAT wykorzystujące ten wzór.
Rozwiązanie krok po kroku:
- Nachylenie k: m_k = (13 − 5)/(6 − 2) = 8/4 = 2
- Nachylenie m (prostopadłe): m_m = −1/2 (odwrotność ze znakiem minus)
- Równanie m w postaci punkt-nachylenie: y − 7 = −½(x − 4)
- Rozwinięcie: y = −½x + 2 + 7 = −½x + 9
- Wyraz wolny: 9
To zadanie łączy trzy wzory z listy (nachylenie, prostopadłość, postać punkt-nachylenie) — dokładnie ten typ syntezy testuje SAT.
Jak zapamiętać efektywnie — 4 zasady
Kucie 40 wzorów z fiszek jest nieefektywne. Testy naszych użytkowników pokazują, że kombinacja tych czterech metod daje najlepsze wyniki:
- Nie ucz się tego, co jest na planszy „Reference". Sprawdzaj tam wzory geometryczne bez wstydu — zaoszczędzone 5 minut poświęć na wzory algebraiczne, które MUSISZ znać.
- Wyprowadzaj, nie tylko powtarzaj. Wzór na odległość to nic innego niż twierdzenie Pitagorasa. Postać kanoniczna paraboli to postać ogólna po dopełnieniu do kwadratu. Rozumienie derivacji daje pamięć trwałą.
- Uczenie w kontekście. Zapamiętasz wzór szybciej po użyciu go w 5 zadaniach niż po 20 powtórzeniach z fiszki. Nasz test diagnostyczny pokaże Ci, które wzory jeszcze nie „siedzą".
- Powtórki rozłożone w czasie (spaced repetition). Powtarzaj listę wzorów w dniach: 1, 3, 7, 14. Codzienne kucie pierwszego dnia i nic potem to gwarancja zapomnienia po tygodniu.
Częste błędy z wzorami na SAT
- Mylenie postaci ogólnej z postacią kierunkową. W zadaniu „prosta o postaci Ax + By = C" nachylenie to −A/B, nie A/B. Ta pomyłka kosztuje 2–3 pytania na test u słabo przygotowanych uczniów.
- Zapominanie o znaku minus przy prostopadłości. Nachylenia prostych prostopadłych to nie tylko odwrotności — to odwrotności ze znakiem minus. Jeśli m₁ = 3/4, to m₂ = −4/3, a nie 4/3.
- Używanie stopni zamiast radianów (i odwrotnie). Wzór s = rθ wymaga θ w radianach. Wzór A = (θ/360)·πr² wymaga θ w stopniach. Pomylenie jednostki daje wynik ~57× za duży lub za mały.
- Kucie wzoru Herona. Nie ma go na SAT. Nie musisz go znać. Podobnie: wzór sinusów, wzór cosinusów, wzory sumy kątów.
Powiązane materiały
- Funkcje liniowe na SAT — pełny przewodnik
- Funkcje nieliniowe — kwadratowe, wykładnicze, wartość bezwzględna
- Geometria i trygonometria na SAT
- SAT a matura rozszerzona — porównanie sekcji matematycznych
Źródła:
- College Board — oficjalna strona SAT
- Bluebook — środowisko testowe Digital SAT
- Digital SAT Test Specifications (PDF)
FAQ
Czy wzory podane na SAT są takie same jak na papierowym teście?
Tak. Zarówno wersja cyfrowa (Digital SAT), jak i papierowa dają dokładnie tę samą planszę 15 wzorów geometrycznych na początku każdej sekcji matematycznej. Różni się tylko sposób prezentacji — w Bluebook (Digital SAT) klikasz zakładkę „Reference", w wersji papierowej wzory są wydrukowane na okładce zeszytu.
Które wzory NIE są podane na SAT Math?
Wszystko poza geometrią. Musisz umieć na pamięć: wzór kwadratowy, deltę, postać kanoniczną paraboli, nachylenie i punkt przecięcia z osią Y, wzór na odległość i środek odcinka, reguły potęg i logarytmów, zmianę procentową, statystyki (średnia, mediana), oraz podstawy trygonometrii (SOH-CAH-TOA i sin²+cos²=1). To około 25 formuł.
Czy mogę przynieść własną ściągę na egzamin SAT?
Nie. Na SAT nie wolno wnosić żadnych własnych notatek, ściąg ani kart z formułami. Jedyne pomoce, których możesz używać, to wbudowany kalkulator Desmos oraz zakładka „Reference" w Bluebook. Próba wniesienia zewnętrznych materiałów skutkuje unieważnieniem wyniku.
Jaki wzór najczęściej pojawia się na SAT Math?
Wzór na nachylenie prostej: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Pojawia się średnio w 5–7 pytaniach na każdym teście — bezpośrednio lub jako element większego zadania (prostopadłość, punkty przecięcia, równania liniowe w kontekście). Drugi najczęstszy: wzór kwadratowy x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a), średnio 2–3 razy na test.
Czy muszę znać wszystkie tożsamości trygonometryczne?
Nie. Wystarczą trzy: SOH-CAH-TOA (sin = przec./przeciwp., cos = przyl./przeciwp., tan = przec./przyl.), tożsamość sin²θ + cos²θ = 1, oraz relacja kątów dopełniających sin(θ) = cos(90° − θ). Nie musisz znać wzorów sumy kątów, podwojenia kąta ani tożsamości cotangens/secans — SAT ich nie testuje.
Ile pytań na SAT Math jest z geometrii?
Około 6 pytań na 44 (≈14%). To najmniej wymagająca domena na SAT — dominują tam figury standardowe (koło, trójkąt prostokątny, prostopadłościan) oraz trójkąty specjalne 30-60-90 i 45-45-90. Wzory na te figury masz podane na planszy „Reference", więc geometria to często najbardziej „darmowe" punkty na teście.